Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét y’ = 0, ta có: y′ = 3 x 2  − 2mx + (m – 2/3)

∆ ’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (∗)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

y′(1) = 3 − 2m + m – 2/3 = 0 ⇔ m = 7/3, thỏa mãn điều kiện (∗)

Với m = 7/3 thì hàm số đã cho trở thành:

Ta có:

Vì y′′(1) = 6 – (14/3) > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y CT  = y(1) = (16/3).

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có:

Xét y’ = 0, ta có: y′ = 3 x 2  − 2mx + (m – 2/3)

Δ’ > 0 khi m < 1 hoặc m > 2 (∗)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

y′(1) = 3 − 2m + m – 2/3 = 0 ⇔ m = 7/3, thỏa mãn điều kiện (∗)

Với m = 7/3 thì hàm số đã cho trở thành:

Ta có:

Vì y′′(1) = 6 – (14/3) > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và y C T  = y(1) = (16/3).

\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)\)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì x =1 phải là nghiệm của y'=0.

=> \(3.1^2-2m.1+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{3}\)

Khi đó ta có:

\(y=x^3-\dfrac{7}{3}x^2+\dfrac{5}{3}x+5\)

\(y'=3x^2-2mx+\left(m-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\left(9x^2-14x+5\right)\)

\(y'\) có 2 nghiệm là \(1\) và \(\dfrac{5}{9}\).

\(y'\) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 1 nên tại x = 1 thì hàm số đạt cực tiểu.

Giá trị cực tiểu tại x = 1 là:

\(y\left(1\right)=1^3-\dfrac{7}{3}.1^2+\dfrac{5}{3}.1+5=\dfrac{16}{3}\)

1.

Đồ thị hàm bậc 3 có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục hoành khi và chỉ khi \(f\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx+m-2=0\) có 3 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-2+m\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)+m\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x+m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2+2x+m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb khác -1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2+m-2\ne0\\\Delta'=1-\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow m< 3\)

2.

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{2x-2}{x+1}=2x+m\)

\(\Rightarrow2x-2=\left(2x+m\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+mx+m+2=0\) (1)

d cắt (C) tại 2 điểm pb \(\Rightarrow\) (1) có 2 nghiệm pb

\(\Rightarrow\Delta=m^2-8\left(m+2\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4+4\sqrt{2}\\m< 4-4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-\dfrac{m}{2}\\x_Ax_B=\dfrac{m+2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(y_A=2x_A+m\) ; \(y_B=2x_B+m\)

\(\Rightarrow AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2+\left(2x_A-2x_B\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B=1\)

\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{m}{2}\right)^2-4\left(\dfrac{m+2}{2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=10\\m=-2\end{matrix}\right.\)

3.

\(y'=x^2-2mx+2\left(m-1\right)\)

Hàm có 2 điểm cực trị nằm về cùng phía đối với trục tung khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb cùng dấu

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-2\left(m-1\right)>0\\ac=1.2\left(m-1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-2m+2>0\left(\text{luôn đúng}\right)\\m>1\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow m>1\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x-sinx=0\\x-m-3=0\\x-\sqrt{9-m^2}=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=m+3\\x=\sqrt{9-m^2}\end{matrix}\right.\) 

Do hệ số bậc cao nhất của x dương nên:

- Nếu \(m=-3\Rightarrow f'\left(x\right)=0\) có nghiệm bội 3 \(x=0\) \(\Rightarrow x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)

- Nếu \(m=3\Rightarrow x=0\) là nghiệm bội chẵn (không phải cực trị, ktm)

- Nếu \(m=0\Rightarrow x=3\) là nghiệm bội chẵn và \(x=0\) là nghiệm bội lẻ, đồng thời \(x=0\) là cực tiểu (thỏa mãn)

- Nếu \(m\ne0;\pm3\) , từ ĐKXĐ của m \(\Rightarrow-3< m< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+3>0\\\sqrt{9-m^2}>0\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(f'\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm pb trong đó \(x=0\) là nghiệm nhỏ nhất

Từ BBT ta thấy \(x=0\) là cực tiểu

Vậy \(-3\le m< 3\)

Lời giải + diễn giải

để hàm có cực trị f'(x) phải có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm

a) \(y'=3x^2-6x+m\)

xét f(x)= 3x^2 -6x+m

để f(x) là hàm bậc 2 => có nghiệm và đổi dấu qua nghiệm đk cần và đủ \(\Delta>0\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m>0\Rightarrow m< 3\)

Kết luận với m< 3 hàm A(x) luôn có cực trị

b)

\(y'=3x^2+4mx+m\)

\(\Delta'=4m^2-3m>0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>\dfrac{3}{4}\end{matrix}\right.\)

c)

\(y=\dfrac{x^2-2mx+5}{x-m}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ne m\\y=\left(x-m\right)+\dfrac{5-m^2}{x-m}\end{matrix}\right.\)

\(y'=1+\dfrac{m^2-5}{\left(x-m\right)^2}\)

\(y'=0\Leftrightarrow\left(x-m\right)^2+m^2-5=0\Rightarrow5-m^2>0\Rightarrow-\sqrt{5}< m< \sqrt{5}\)

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge m-2\\x\ne m\\x< m+5\\\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\in D=[m-2;m)\cup\left(m;m+5\right)\)

Hàm xác định khi \((1;3]\subset D\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}m>3\\m-2< 1\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m+5>3\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-2< m< 1\)

Hàm xác định trên \(\left[2;3\right]\) khi và chỉ khi:

\(x^2-2x-m>0;\forall x\in\left[2;3\right]\)

\(\Rightarrow x^2-2x>m;\forall x\in\left[2;3\right]\)

\(\Rightarrow m< \min\limits_{\left[2;3\right]}\left(x^2-2x\right)\)

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^2-2x\) trên \(\left[2;3\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=1\notin\left[2;3\right]\)

\(f\left(2\right)=0\) ; \(f\left(3\right)=3\)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[2;3\right]}\left(x^2-2x\right)=0\)

\(\Rightarrow m< 0\)

Bài toán này không giải được

Do \(y'=\left(m-1\right)x^2+2\left(m^2-4\right)+m^2-9\)

Có \(\Delta'=\left(m^2-4\right)^2-\left(m-1\right)\left(m^2-9\right)\) là 1 biểu thức bậc 4 không thể xác định nghiệm 

Đáp án: A.

- Nếu m = 0 thì y = -2x - 2, hàm số không có cực trị.

- Nếu m ≠ 0: Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = m x 2  + 2mx + 2(m - 1) = 0 không có hai nghiệm phân biệt. Muốn vậy, phải có

Δ' = m 2  - 2m(m - 1) = - m 2  + 2m ≤ 0

⇔